Основной курс по олимпиадной математике 10-11 класс

1 Блок (Сентябрь) Простой уровень сложности: Комбинаторика: счёт без формул Научимся считать количество объектов и способов через правила суммы, произведения, вычитания и деления Комбинаторика: простые формулы Разберём перестановки, размещения, сочетания и формулу включений-исключений Теория чисел: делимость и разложение на множители Систематизируем признаки делимости, простые множители и основную теорему арифметики (без доказательства) Теория чисел: НОД и НОК Систематизируем свойства НОД и НОК и обсудим алгоритм Евклида Методы: принцип Дирихле Научимся выбирать «клетки» и «объекты» так, чтобы гарантировать совпадение, близость или повторение. Разберём числовые, геометрические и комбинаторные сюжеты. Алгебра: преобразования выражений 1 Систематизируем базовые факторизации, тождества и замены переменных. Научимся превращать громоздкую запись в выражение с ясной структурой. Геометрия: вписанные углы Систематизируем углы в окружности, касательные и признаки вписанного четырёхугольника. Научимся читать окружностную структуру чертежа. Разнобой Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления. Средний уровень сложности: Алгебра: преобразования выражений 2 Освоим симметризацию, однородность, сложные разложения и работу с рациональными выражениями. Упор на поиск ключевой формы. Алгебра: квадратный трёхчлен Разберём знак, вершину параболы, корни и дискриминант. Научимся оценивать квадратный трёхчлен и использовать его в задачах с параметрами. Теория чисел: степень вхождения простого Будем учиться считать показатель простого в произведениях, факториалах и биномиальных коэффициентах. Теория чисел: крайние Разберём выбор наименьшего решения, наибольшего делителя и крайнего простого множителя. Эти объекты часто запускают спуск или противоречие. Геометрия: степень точки Освоим произведения отрезков секущих, касательную и степень точки внутри и вне окружности. Научимся доказывать равенства и вписанность. Геометрия: антипараллельность Разберём антипараллельные прямые, их связь с вписанностью и симедианами. Научимся быстро переводить угловые условия в окружностные. Графы: связность Разберём пути, компоненты, мосты и способы гарантировать связность. Научимся доказывать существование маршрута через локальные условия. Разнобой Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления. Сложный уровень сложности: Комбинаторика: Diamond-лемма Изучим Diamond-лемму и применим её к различным задачам. Геометрия: инверсия Освоим инверсию относительно окружности: образы точек, прямых и окружностей, сохранение углов. Научимся выбирать радиус и центр преобразования. Теория чисел: LTE Изучим лемму о подъёме показателя и условия её применимости. Научимся вычислять степень простого в разностях и суммах больших степеней. Алгебра: неравенство Мюрхеда Изучим мажорирование показателей и неравенство Мюрхеда для симметрических однородных многочленов. Научимся раскладывать выражение по симметрическим суммам. 2 Блок (Октябрь) Простой уровень сложности: Комбинаторика: сложные формулы Освоим подсчёт с ограничениями, повторениями и симметриями Теория чисел: остатки и сравнения Разберём сравнения по модулю, операции с ними и системы остатков. Научимся выбирать модуль, который раскрывает структуру выражения. Методы: принцип крайнего Будем выбирать наибольший, наименьший или крайний объект и использовать его свойства для запуска доказательства. Отработаем типичные признаки применимости метода. Графы: степень вершины Освоим подсчёт степеней, среднюю степень и лемму о рукопожатиях Алгебра: преобразования выражений 3 Разберём продвинутые тождества, циклические выражения и многошаговые замены. Будем выбирать преобразование, которое раскрывает скрытую оценку или делимость. Геометрия: вписанные четырёхугольники Разберём признаки вписанности, суммы противоположных углов, внешние углы и следствия для диагоналей. Научимся находить скрытую окружность. Геометрия: дополнительные построения 1 Освоим базовые достроения: параллели, равные отрезки, симметрии и продолжения сторон. Научимся понимать, какую знакомую конфигурацию нужно создать. Разнобой Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления. Средний уровень сложности: Алгебра: неравенство о средних 1 Освоим AM–GM для двух и нескольких положительных чисел, подбор весов и условия равенства. Научимся распознавать нужное произведение. Алгебра: теорема Безу Изучим теорему Безу о делении многочлена на x−a, связь корней с линейными множителями и схему Горнера. Применим её к делимости и построению многочленов. Теория чисел: продвинутые сравнения по модулю Освоим обратимые классы, порядки элементов, степени по модулю и системы сравнений. Научимся выбирать модуль под конкретную структуру задачи. Графы: смежность Исследуем отношения соседства и общих соседей, степени и дополнение графа. Научимся получать глобальные выводы из локальных ограничений. Геометрия: движения плоскости Систематизируем изометрии плоскости и композиции движений. Применим их к равенствам, и построению вспомогательных точек. Геометрия: гомотетия Освоим центры гомотетии окружностей и подобных фигур, прямую и обратную гомотетию. Научимся находить коллинеарности и общие касательные. Методы: метод математической индукции Освоим обычную и усиленную индукцию, выбор удобного параметра и правильный переход. Разберём доказательства тождеств, неравенств и комбинаторных утверждений. Разнобой Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления. Сложный уровень сложности: Комбинаторика: вероятности Разберём классическую вероятность, условные события и линейность математического ожидания. Научимся превращать подсчёт исходов в компактное вероятностное рассуждение. Геометрия: симедиана Изучим симедиану, её изогональность медиане и отношение отрезков на противоположной стороне. Разберём связь с касательной. Алгебра: асимптотика многочленов Научимся сравнивать старшие члены многочленов и рациональных функций, исследовать поведение при больших значениях и извлекать точные ограничения из ведущих степеней. Разнобой Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления. 3 Блок (Ноябрь) Простой уровень сложности: Теория чисел: линейные диофантовы уравнения Научимся находить все целочисленные решения уравнения ax + by = c, проверять критерий существования и учитывать ограничения на знаки. Методы: конструктивы в комбинаторике Научимся не только доказывать существование, но и явно строить комбианаторные объекты с заданными свойствами. Методы: доказательство от противного Разберём структуру доказательства от противного: какое предположение сделать, как получить невозможное следствие и как аккуратно завершить рассуждение. Методы: оценка + пример Освоим одну из главных олимпиадных схем: сначала докажем верхнюю или нижнюю границу, затем построим пример, на котором она достигается. Геометрия: дополнительные построения 2 Разберём более скрытые достроения: повороты, окружности, спиральное подобие и перенос отношения. Будем выбирать построение по цели доказательства. Графы: деревья Изучим связные графы без циклов, листья и эквивалентные определения дерева. Научимся использовать удаление листа и подсчёт рёбер. Алгебра: простые неравенства Отработаем выделение полного квадрата, разложение разности и стандартные оценки. Научимся выбирать короткое и прозрачное доказательство. Разнобой Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления. Средний уровень сложности: Алгебра: теорема Виета Освоим прямую и обратную теорему Виета, симметрические выражения от корней и построение уравнения по заданным корням. Алгебра: неравенство о средних 2 Разберём взвешенное AM–GM, группировку слагаемых и многошаговые оценки. Научимся конструировать доказательство под заданную степень и произведение. Геометрия: лемма о трезубце Изучим конфигурацию биссектрисы и центра описанной окружности, позволяющую получать равные отрезки и углы. Отработаем её распознавание и применение. Геометрия: свойства ортоцентра Углубим тему ортоцентра: отражения, окружность девяти точек и перенос высот в окружностные конфигурации. Теория чисел: китайская теорема об остатках Освоим решение систем сравнений с взаимно простыми модулями и явное построение решения. Методы: продвинутые конструктивы в комбинаторике Разберём многошаговые и рекурсивные конструкции. Особое внимание проверке всех ограничений и доказательству оптимальности построения. Графы: индукция в графах Научимся применять индукцию по числу вершин или рёбер: выбирать удаляемый элемент, сохранять условие и восстанавливать решение. Разнобой Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления. Сложный уровень сложности: Комбинаторика: вероятностный метод Научимся доказывать существование объекта, выбирая его случайно и показывая, что вероятность успеха положительна. Разберём ожидание и оценку плохих событий. Геометрия: гармонический четырёхугольник Освоим гармонические четвёрки точек, полные четырёхсторонники. Научимся получать гармонические четверки из окружностей и касательных. Теория чисел: показатели Исследуем показатели степеней в делимости и сравнениях: порядки по модулю, p-адические оценки и условия, заставляющие показатель делиться. Алгебра: неравенство Йенсена Разберём выпуклые функции, касательные и неравенство Йенсена. Научимся проверять выпуклость и точно определять условия равенства. 4 Блок (Декабрь) Простой уровень сложности: Алгебра: целая и дробная часть числа Освоим преобразования с целой и дробной частью, интервальные оценки и периодичность. Решим уравнения и неравенства с дискретными скачками. Теория чисел: десятичная запись Научимся переводить условия о цифрах в алгебраические выражения, работать с разрядами, суммами цифр и делимостью чисел. Комбинаторика: игры Освоим анализ позиций, стратегии ответа и движение к целевому состоянию. Научимся выбирать нужную стратегию. Методы: инварианты помогают Научимся находить величину или свойство, которое сохраняется в процессе, и использовать его для вычисления результата, восстановления состояния или описания всех возможностей. Методы: инварианты мешают Будем доказывать невозможность, находя неизменяемую характеристику, значения которой различаются в начальном и требуемом состояниях. Геометрия: вневписанные окружности Разберём центры вневписанных окружностей, внешние биссектрисы и касательные отрезки. Научимся использовать полупериметр и угловые свойства. Геометрия: площади Научимся сравнивать площади через общую высоту или основание, выражать отношения отрезков и использовать аддитивность площади в сложных конфигурациях. Разнобой Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления. Средний уровень сложности: Алгебра: неравенство КБШ Изучим неравенство Коши Буняковского Шварца в алгебраической и дробной формах. Отработаем подбор векторов и условия равенства. Алгебра: многочлены с целыми коэффициентами Разберём целые корни, делимость значений, разности P(a) P(b) и сравнения для многочленов. Научимся использовать структуру коэффициентов. Теория чисел: функция и теорема Эйлера Освоим функцию Эйлера, её вычисление по разложению числа и теорему Эйлера. Решим задачи на большие степени и обратимые остатки. Геометрия: поворотная гомотетия Изучим спиральное подобие, которое одновременно поворачивает и масштабирует фигуру. Научимся находить его центр и переносить пары отрезков. Геометрия: задачи с векторами Освоим векторные равенства, разложения по базису и скалярное произведение. Применим их к коллинеарности, отношениям и углам. Методы: сложные конструктивы в теории чисел и алгебре Будем строить числа, многочлены и последовательности с нужными делимостями, остатками или значениями. Освоим подбор параметров и обратное построения примера. Графы: эйлеровы и гамильтоновы циклы Разберём критерий эйлерова маршрута и методы поиска гамильтоновых циклов. Научимся различать задачи о прохождении по рёбрам и по вершинам. Разнобой Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления. Сложный уровень сложности: Теория чисел: первообразные корни Изучим мультипликативные группы остатков и первообразные корни. Научимся описывать степени по модулю и решать показательные сравнения. Геометрия: изогональное сопряжение Разберём изогональные прямые и пары сопряжённых точек. Научимся распознавать изогональность через углы, отношения и окружности. Графы: лемма Холла Изучим критерий существования паросочетания в двудольном графе. Научимся проверять условие Холла и переводить задачи о назначениях в графовую модель. Разнобой Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления. 5 Блок (Январь) Простой уровень сложности: Методы: полуинварианты Разберём величины, которые меняются только в одном направлении. Научимся доказывать